الأعدادالمركبةفيالرياضياتدليلشامللفهمهاوتطبيقاتها
الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضياتالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالأعدادالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةالكهربائية،الفيزياء،وحتىفيعلومالحاسوب.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةاستخدامهافيحلالمسائلالرياضيةالمعقدة.الأعدادالمركبةفيالرياضياتدليلشامللفهمهاوتطبيقاتها
ماهيالأعدادالمركبة؟
الأعدادالمركبةتتكونمنجزئين:جزءحقيقي(RealPart)وجزءتخيلي(ImaginaryPart).يُكتبالعددالمركبعادةًعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقي.
-bهوالجزءالتخيلي.
-iهيالوحدةالتخيلية،حيث(i^2=-1).
علىسبيلالمثال،العدد(3+4i)هوعددمركب،حيثالجزءالحقيقيهو3والجزءالتخيليهو4.
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
[(2+3i)+(1-5i)=(2+1)+(3i-5i)=3-2i]
الأعدادالمركبةفيالرياضياتدليلشامللفهمهاوتطبيقاتها
الضرب:
الأعدادالمركبةفيالرياضياتدليلشامللفهمهاوتطبيقاتها
لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةتوزيعالضربمعالأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1).
مثال:
[(1+2i)\times(3-i)=1\times3+1\times(-i)+2i\times3+2i\times(-i)]
[=3-i+6i-2i^2=3+5i-2(-1)=5+5i]القسمة:
الأعدادالمركبةفيالرياضياتدليلشامللفهمهاوتطبيقاتها
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(ComplexConjugate)لتبسيطالمقامإلىعددحقيقي.
مثال:
[\frac{ 1+2i}{ 3-4i}\times\frac{ 3+4i}{ 3+4i}=\frac{ (1+2i)(3+4i)}{ 9+16}=\frac{ 3+4i+6i+8i^2}{ 25}]
[=\frac{ 3+10i-8}{ 25}=\frac{ -5+10i}{ 25}=\frac{ -1+2i}{ 5}]
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبكنقطةفيالمستوىالإحداثي(المستوىالمركب)،حيثالمحورالأفقييمثلالجزءالحقيقيوالمحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.يُعرفهذاالتمثيلبمخططأرجاند(ArgandDiagram).
الأعدادالمركبةفيالرياضياتدليلشامللفهمهاوتطبيقاتهاتطبيقاتالأعدادالمركبة
- الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلدوائرالتيارالمتردد(ACCircuits).
- الفيزياءالكمية:تلعبدورًاأساسيًافيمعادلاتميكانيكاالكم.
- معالجةالإشارات:تُستخدمفيتحويلاتفورييه(FourierTransform)لتحليلالموجات.
الخلاصة
الأعدادالمركبةأداةقويةفيالرياضياتوالعلوم،حيثتسمحبحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.بفهمأساسياتهاوتطبيقاتها،يمكنللطلابوالمهندسينوالعلماءالاستفادةمنهافيمجالاتمتعددة.
الأعدادالمركبةفيالرياضياتدليلشامللفهمهاوتطبيقاتهاإذاكنتتدرسالرياضياتالمتقدمة،فإنإتقانالأعدادالمركبةسيفتحلكأبوابًاجديدةفيفهمالمعادلاتالتفاضلية،الإحصاء،والهندسة!
الأعدادالمركبةفيالرياضياتدليلشامللفهمهاوتطبيقاتها